参考资料

1. 车辆数学模型
2. 车辆模型-动力学模型(Dynamics Model)

1. 基本模型建立

我们作如下假设：

• 车辆所受的空气的力只会对车身坐标系x轴方向上的运动有影响，y轴方向和沿着z轴的旋转不会受到空气力的影响；
• 车辆运行在二维平面中，也就是z轴无速度。
• 车辆轮胎力运行在线性区间。

在运动学模型中，我们假设了单车模型中前后轮的速度矢量与轮子方向一致。当车辆速度很高时，单车模型中前后轮的速度矢量不再与轮子方向一致。此时运动学模型就不能准确地描述车辆的运动状态，这就需要使用动力学模型对车辆进行建模。

车辆单车模型中需要考虑两个维度的信息，这两个维度分别指代表车辆横向位置信息的 $y$和表示车辆偏航角信息的 $\psi$。他们可以大致分为两类： 纵向力(Longitudinal force) 和 横向力（Lateral force）, 纵向力就是使车辆前后移动的力量，而横向力则促使车辆在横向移动，在力的相互作用过程中，轮胎起着决定性的作用（根据一定的物理常识，轮胎是车辆运动的一个重要的力的来源）。

之所以叫二自由度的车辆动力学模型，就是因为二自由度指的是横向上y轴的运动和绕z轴的转动，忽略了纵向x轴的运动。

建立如下坐标系，X,Y表示全局坐标系，x,y则表示车身坐标系，x轴方向沿车辆中轴方向向前，y轴方向朝右，其车辆中心在质心位置。车辆的状态信息表示为$(x,y,\psi ,v)$，即$x,y$方向上的位置，偏航角和速度。

平动

首先假设车辆为一个质点，对该质点进行受力分析，并根据牛顿第二定律得

m
a
y
=
F
y
f
+
F
y
r
m
a
x
=
F
x
f
+
F
x
r
−
F
a
e
r
o
(1)
\tag{1} m a_{y}=F_{y f}+F_{y r}\\ ma_x=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero}
may​=Fyf​+Fyr​max​=Fxf​+Fxr​−Faero​(1)
其中，

• 
  a
  y
  a_{y}
  ay​ 为车辆重心处 $y$ 轴方向的惯性加速度，满足
  a
  y
  =
  d
  2
  y
  d
  t
  2
  a_y=\frac{d^2y}{dt^2}
  ay​=dt2d2y​

• 
  F
  y
  f
  F_{y f}
  Fyf​ 和
  F
  y
  r
  F_{y r}
  Fyr​ ​分别表示车前轮和后轮所受到的力在y轴方向上的分量。

• 
  F
  x
  f
  F_{x f}
  Fxf​ 和
  F
  x
  r
  F_{x r}
  Fxr​分别表示车前轮和后轮所受到的力在x轴方向上的分量。

• 
  F
  a
  e
  r
  o
  F_{aero}
  Faero​​表示车在x轴方向受到的空气阻力。

平动过程中，有两 种力共同作用产生加速度
a
y
a_{y}
ay​ : 车辆延 $y$ 轴产生的惯性加速度
y
¨
\ddot{y}
y¨​ 和车辆绕旋转中心 $O$ 旋转产生的向心加速度
a
c
=
v
x
2
R
=
v
x
ψ
˙
∘
a_{c}=\frac{{v_x}^2}{R}=v_{x} \dot{\psi}_{\circ}
ac​=Rvx​2​=vx​ψ˙​∘​

a
y
=
y
¨
+
v
x
ψ
˙
(2)
\tag{2} a_{y}=\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}
ay​=y¨​+vx​ψ˙​(2)
将公式(2)带入公式(1)得

m
(
y
¨
+
v
x
ψ
˙
)
=
F
y
f
+
F
y
r
(3)
\tag{3} m\left(\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}\right)=F_{y f}+F_{y r}
m(y¨​+vx​ψ˙​)=Fyf​+Fyr​(3)

同理，沿着x轴有

a
x
=
v
˙
x
−
v
y
ψ
˙
m
(
v
˙
x
−
v
y
ψ
˙
)
=
F
x
f
+
F
x
r
−
F
a
e
r
o
(3-2)
\tag{3-2} a_x=\dot{v}_x-v_y\dot{\psi}\\ m(\dot{v}_x-v_y\dot{\psi})=F_{xf}+F_{xr}-F_{aero}
ax​=v˙x​−vy​ψ˙​m(v˙x​−vy​ψ˙​)=Fxf​+Fxr​−Faero​(3-2)

其中，

v
x
˙
=
x
¨
v
y
˙
=
y
¨
\dot{v_x}=\ddot{x}\\ \dot{v_y}=\ddot{y}
vx​˙​=x¨vy​˙​=y¨​

转动

假设车辆为刚体，刚体绕重心转动，该运动过程使用力矩和转动惯量进行描述。 车辆绕Z轴旋转产生的力矩平衡，对应的偏航动力学方程为

I
z
ψ
¨
=
l
f
F
y
f
−
l
r
F
y
r
(4)
\tag{4} I_{z} \ddot{\psi}=l_{f} F_{y f}-l_{r} F_{y r}
Iz​ψ¨​=lf​Fyf​−lr​Fyr​(4)
其中，
l
f
l_{f}
lf​ 和
l
r
l_{r}
lr​ 代表前后轮胎到重心的距离。

2. 横向（y方向）受力计算

车辆轮胎在y轴方向受到的力
F
y
f
F_{yf}
Fyf​​、
F
y
r
F_{yr}
Fyr​​实验结果表明，其大小正比于轮胎的侧滑角。其侧滑角如下图所示：

根据上图，前轮侧滑角为

α
f
=
δ
−
θ
v
f
(5)
\tag{5} \alpha_{f}=\delta-\theta_{v f}
αf​=δ−θvf​(5)
其中，
θ
v
f
\theta_{v f}
θvf​ 代表速度矢量与车辆纵轴的夹角， $\delta$ 代表前轮转向角。

同理，由于后轮转向角 $\delta$ 为 0 ，故后轮侧滑角为

α
r
=
−
θ
v
r
(6)
\tag{6} \alpha_{r}=-\theta_{vr}
αr​=−θvr​(6)
车辆前轮的横向力可以表示为

F
y
f
=
2
C
α
f
(
δ
−
θ
v
f
)
(7)
\tag{7} F_{y f}=2 C_{\alpha f}\left(\delta-\theta_{v f}\right)
Fyf​=2Cαf​(δ−θvf​)(7)
其中，比例常数
C
α
f
C_{\alpha f}
Cαf​ 代表每个前轮的转弯刚度(cornering stiffness)。

同理后轮的横向力可以写为

F
y
r
=
2
C
α
r
(
−
θ
v
r
)
(8)
\tag{8} F_{y r}=2 C_{\alpha r}\left(-\theta_{v r}\right)
Fyr​=2Cαr​(−θvr​)(8)
其中，比例常数
C
α
r
C_{\alpha r}
Cαr​ 代表每个后轮的转弯刚度(cornering stiffness)。

3. 横向动力学模型推导

点 C 代表车辆的重心， A 点和 B点到重心的距离分别用
l
f
l_f
lf​​和
l
r
l_r
lr​​​表示，轴距表示为
L
=
l
f
+
l
r
L = l_f + l_r
L=lf​+lr​​。

车辆平动产生的速度分量
v
x
v_{x}
vx​ 和
v
y
v_{y}
vy​ ，以及绕点 $C$ 转动产生的线速度
l
f
ψ
˙
l_{f} \dot{\psi}
lf​ψ˙​ 和
l
r
ψ
˙
l_{r} \dot{\psi}
lr​ψ˙​ (根据角速度与线速度的关系
ω
=
v
R
\omega=\frac{v}{R}
ω=Rv​得到)组成。根据上图得

tan
⁡
(
θ
v
f
)
=
v
y
+
l
f
ψ
˙
v
x
(9)
\tag{9} \tan \left(\theta_{v f}\right)=\frac{v_{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}
tan(θvf​)=vx​vy​+lf​ψ˙​​(9)

tan
⁡
(
θ
v
r
)
=
v
y
−
l
r
ψ
˙
v
x
(10)
\tag{10} \tan \left(\theta_{v r}\right)=\frac{v_{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}
tan(θvr​)=vx​vy​−lr​ψ˙​​(10)
由于通常情况下速度矢量的夹角很小，可以使用小角度近似原理
$$\tan \left(\delta \right)\approx \delta$$
得

θ
v
f
=
y
˙
+
l
f
ψ
˙
v
x
(11)
\tag{11} \theta_{v f}=\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}
θvf​=vx​y˙​+lf​ψ˙​​(11)

θ
v
r
=
y
˙
−
l
r
ψ
˙
v
x
(12)
\tag{12} \theta_{v r}=\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}
θvr​=vx​y˙​−lr​ψ˙​​(12)

将等式(7)、(8)、(11)和(12)代入等式(3)中得

m
(
y
¨
+
v
x
ψ
˙
)
=
2
C
α
f
(
δ
−
y
˙
+
l
f
ψ
˙
v
x
)
+
2
C
α
r
(
−
y
˙
−
l
r
ψ
˙
v
x
)
(13)
\tag{13} m\left(\ddot{y}+v_{x} \dot{\psi}\right)=2 C_{\alpha f}\left(\delta-\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)+2 C_{\alpha r}\left(-\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)
m(y¨​+vx​ψ˙​)=2Cαf​(δ−vx​y˙​+lf​ψ˙​​)+2Cαr​(−vx​y˙​−lr​ψ˙​​)(13)
等式(13)左右两边同时除以 $m$ ，分别提取
y
¨
、
y
˙
、
ψ
˙
\ddot{y} 、 \dot{y} 、 \dot{\psi}
y¨​、y˙​、ψ˙​ 和 $\delta$ 项得

y
¨
=
−
2
C
α
f
+
2
C
α
r
m
v
x
y
˙
−
(
v
x
+
2
C
α
f
l
f
−
2
C
α
r
l
r
m
v
x
)
ψ
˙
+
2
C
α
f
m
δ
(14)
\tag{14} \ddot{y}=-\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m v_{x}} \dot{y}-\left(v_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m v_{x}}\right) \dot{\psi}+\frac{2 C_{\alpha f}}{m} \delta
y¨​=−mvx​2Cαf​+2Cαr​​y˙​−(vx​+mvx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)ψ˙​+m2Cαf​​δ(14)
转化为矩阵形式如下

y
¨
=
[
−
2
C
α
f
+
2
C
α
r
m
V
x
−
(
v
x
+
2
C
α
f
l
f
−
2
C
α
r
l
r
m
v
x
)
]
[
y
y
˙
ψ
ψ
˙
]
+
2
C
α
f
m
δ
(15)
\tag{15} \ddot{y}=\left[\begin{array}{llll} 0 & -\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m V_{x}} & 0 & -\left(v_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m v_{x}}\right) \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right]+\frac{2 C_{\alpha f}}{m} \delta
y¨​=[0​−mVx​2Cαf​+2Cαr​​​0​−(vx​+mvx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)​]⎣⎡​yy˙​ψψ˙​​⎦⎤​+m2Cαf​​δ(15)
同理，将等式(7)、(8)、(11)和(12)代入等式(4)中得

I
z
ψ
¨
=
2
l
f
C
α
f
(
δ
−
y
˙
+
l
f
ψ
˙
v
x
)
−
2
l
r
C
α
r
(
−
y
˙
−
l
r
ψ
˙
v
x
)
(16)
\tag{16} I_{z} \ddot{\psi}=2 l_{f} C_{\alpha f}\left(\delta-\frac{\dot{y}+l_{f} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)-2 l_{r} C_{\alpha r}\left(-\frac{\dot{y}-l_{r} \dot{\psi}}{v_{x}}\right)
Iz​ψ¨​=2lf​Cαf​(δ−vx​y˙​+lf​ψ˙​​)−2lr​Cαr​(−vx​y˙​−lr​ψ˙​​)(16)
等式(16)左右两边同时除以
I
z
I_{z}
Iz​ ，分别提取
y
˙
、
ψ
¨
、
ψ
˙
\dot{y} 、 \ddot{\psi} 、 \dot{\psi}
y˙​、ψ¨​、ψ˙​ 和 $\delta$ 项得

ψ
¨
=
−
2
l
f
C
α
f
−
2
l
r
C
α
r
I
z
v
x
y
˙
−
2
l
f
2
C
α
f
+
2
l
r
2
C
α
r
I
z
v
x
ψ
˙
+
2
l
f
C
α
f
I
z
δ
(17)
\tag{17} \ddot{\psi}=-\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{y}-\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{\psi}+\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \delta
ψ¨​=−Iz​vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​y˙​−Iz​vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​ψ˙​+Iz​2lf​Cαf​​δ(17)
等效的矩阵形式为

ψ
¨
=
[
−
2
l
f
C
α
f
−
2
l
r
C
α
r
I
z
v
x
−
2
l
f
2
C
α
f
+
2
l
r
2
C
α
r
I
z
v
x
]
[
y
y
˙
ψ
ψ
˙
]
+
2
l
f
C
α
f
I
z
δ
(18)
\tag{18} \ddot{\psi}=\left[\begin{array}{llll} 0 & -\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} & 0 & -\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right]+\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \delta
ψ¨​=[0​−Iz​vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​​0​−Iz​vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​​]⎣⎡​yy˙​ψψ˙​​⎦⎤​+Iz​2lf​Cαf​​δ(18)

根据等式(15)和(18)得

[
y
˙
y
¨
ψ
˙
ψ
¨
]
=
[
1
−
2
C
α
f
+
2
C
α
r
m
V
x
−
(
V
x
+
2
C
α
f
l
f
−
2
C
α
r
l
r
m
V
x
)
1
−
2
l
f
C
α
f
−
2
l
r
C
α
r
I
z
V
x
−
2
l
f
2
C
α
f
+
2
l
r
2
C
α
r
I
z
V
x
]
[
y
y
˙
ψ
ψ
˙
]
+
[
2
C
α
f
m
2
l
f
C
α
f
I
z
]
δ
(19)
\tag{19} \begin{aligned} \left[\begin{array}{c} \dot{y} \\ \ddot{y} \\ \dot{\psi} \\ \ddot{\psi} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m V_{x}} & 0 & -\left(V_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m V_{x}}\right) \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & -\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} V_{x}} & 0 & -\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} V_{x}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} y \\ \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{array}\right] \\ +\left[\begin{array}{c} 0\\ \frac{2 C_{\alpha f}}{m} \\ 0 \\ \frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \end{array}\right] \delta \end{aligned}
⎣⎡​y˙​y¨​ψ˙​ψ¨​​⎦⎤​=⎣⎡​0000​1−mVx​2Cαf​+2Cαr​​0−Iz​Vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​​0000​0−(Vx​+mVx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)1−Iz​Vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​​⎦⎤​⎣⎡​yy˙​ψψ˙​​⎦⎤​+⎣⎡​0m2Cαf​​0Iz​2lf​Cαf​​​⎦⎤​δ​(19)

注意：上述动力学方程的推导建立在车辆侧滑角很小的情况下，这时的轮胎作用力与侧滑角可以近似为线性关系。当侧滑角很大时，轮胎作用力与侧滑角就不再是线性关系。

补充——考虑路面坡度角

如果还额外考虑路面坡度角（road bank angles）的影响，则公式（1）应写为

m
a
y
=
F
y
f
+
F
y
r
+
F
b
a
n
k
m a_{y}=F_{y f}+F_{y r}+F_{bank}
may​=Fyf​+Fyr​+Fbank​

式中

F
b
a
n
k
=
m
g
sin
⁡
ϕ
F_{bank} = mg\sin{\phi}
Fbank​=mgsinϕ
$\varphi$为路面坡度角，如下图所示

转动过程不受坡度角影响，即公式（4)不变。因此，其它按部就班推导即可。

4. 纵向（x方向）受力计算

车辆在 $\mathrm{x}$ 轴方向的力
F
x
f
、
F
x
r
F_{x f} 、 F_{x r}
Fxf​、Fxr​ 与轮胎的滑比
σ
x
\sigma_{x}
σx​ 成正比。其定义为:

{
σ
x
=
r
e
f
f
ω
w
−
v
x
v
x
 ——刹车时 
σ
x
=
r
e
f
f
ω
w
−
v
x
r
e
f
f
ω
w
 ——加速时 
(20)
\tag{20} \left\{\begin{array}{l} \sigma_{x}=\frac{r_{e f f} \omega_{w}-v_{x}}{v_{x}} \text { ——刹车时 } \\ \sigma_{x}=\frac{r_{e f f} \omega_{w}-v_{x}}{r_{e f f} \omega_{w}} \text { ——加速时 } \end{array}\right.
{σx​=vx​reff​ωw​−vx​​ ——刹车时 σx​=reff​ωw​reff​ωw​−vx​​ ——加速时 ​(20)
因此有:

F
x
f
=
2
C
σ
f
σ
x
f
(21)
\tag{21} F_{x f}=2 C_{\sigma f} \sigma_{x f}
Fxf​=2Cσf​σxf​(21)

F
x
r
=
2
C
σ
r
σ
x
r
(22)
\tag{22} F_{x r}=2 C_{\sigma r} \sigma_{x r}
Fxr​=2Cσr​σxr​(22)
其中
C
σ
r
C_{\sigma r}
Cσr​ 为纵向的轮胎刚性参数（tire stiffness parameters)。

对于空气阻力 :

F
aero 
=
1
2
ρ
C
d
A
F
(
v
x
+
v
wind 
)
2
(23)
\tag{23} F_{\text {aero }}=\frac{1}{2} \rho C_{d} A_{F}\left(v_{x}+v_{\text {wind }}\right)^{2}
Faero ​=21​ρCd​AF​(vx​+vwind ​)2(23)
另外在全局坐标系下:

{
X
˙
=
v
x
cos
⁡
(
ψ
)
−
v
y
sin
⁡
(
ψ
)
Y
˙
=
v
x
sin
⁡
(
ψ
)
+
v
y
cos
⁡
(
ψ
)
(24)
\tag{24} \left\{\begin{array}{l} \dot{X}=v_{x} \cos (\psi)-v_{y} \sin (\psi) \\ \dot{Y}=v_{x} \sin (\psi)+v_{y} \cos (\psi) \end{array}\right.
{X˙=vx​cos(ψ)−vy​sin(ψ)Y˙=vx​sin(ψ)+vy​cos(ψ)​(24)

联立等式(3-2),(21),(22),(23)，得

v
˙
x
=
2
C
σ
r
σ
x
r
+
2
C
σ
f
σ
x
f
−
1
2
ρ
C
d
A
F
(
v
x
+
v
w
i
n
d
)
2
m
+
v
y
ψ
˙
(25)
\tag{25} \dot{v}_{x}=\frac{2 C_{\sigma r} \sigma_{x r}+2 C_{\sigma f} \sigma_{x f}-\frac{1}{2} \rho C_{d} A_{F}\left(v_{x}+v_{w i n d}\right)^{2}}{m}+v_{y} {\dot{\psi}}
v˙x​=m2Cσr​σxr​+2Cσf​σxf​−21​ρCd​AF​(vx​+vwind​)2​+vy​ψ˙​(25)

5. 动力学模型总结

联立等式(14)，(17)，(24)，(25)得

{
X
˙
=
v
x
cos
⁡
(
ψ
)
−
v
y
sin
⁡
(
ψ
)
Y
˙
=
v
x
sin
⁡
(
ψ
)
+
v
y
cos
⁡
(
ψ
)
x
˙
=
v
x
y
˙
=
v
y
v
˙
x
=
2
C
σ
r
σ
x
r
+
2
C
σ
f
σ
x
f
−
1
2
ρ
C
d
A
F
(
v
x
+
v
w
i
n
d
)
2
m
+
v
y
ψ
˙
v
˙
y
=
−
2
C
α
f
+
2
C
α
r
m
v
x
y
˙
−
(
v
x
+
2
C
α
f
l
f
−
2
C
α
r
l
r
m
v
x
)
ψ
˙
+
2
C
α
f
m
δ
ψ
¨
=
−
2
l
f
C
α
f
−
2
l
r
C
α
r
I
z
v
x
y
˙
−
2
l
f
2
C
α
f
+
2
l
r
2
C
α
r
I
z
v
x
ψ
˙
+
2
l
f
C
α
f
I
z
δ
(26)
\tag{26} \left\{\begin{array}{l} \dot{X}=v_{x} \cos (\psi)-v_{y} \sin (\psi) \\ \dot{Y}=v_{x} \sin (\psi)+v_{y} \cos (\psi)\\ \dot{x}=v_x\\ \dot{y}=v_y\\ \dot{v}_{x}=\frac{2 C_{\sigma r} \sigma_{x r}+2 C_{\sigma f} \sigma_{x f}-\frac{1}{2} \rho C_{d} A_{F}\left(v_{x}+v_{w i n d}\right)^{2}}{m}+v_{y} {\dot{\psi}}\\ \dot{v}_y=-\frac{2 C_{\alpha f}+2 C_{\alpha r}}{m v_{x}} \dot{y}-\left(v_{x}+\frac{2 C_{\alpha f} l_{f}-2 C_{\alpha r} l_{r}}{m v_{x}}\right) \dot{\psi}+\frac{2 C_{\alpha f}}{m} \delta\\ \ddot{\psi}=-\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}-2 l_{r} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{y}-\frac{2 l_{f}{ }^{2} C_{\alpha f}+2 l_{r}{ }^{2} C_{\alpha r}}{I_{z} v_{x}} \dot{\psi}+\frac{2 l_{f} C_{\alpha f}}{I_{z}} \delta \end{array}\right.
⎩⎨⎧​X˙=vx​cos(ψ)−vy​sin(ψ)Y˙=vx​sin(ψ)+vy​cos(ψ)x˙=vx​y˙​=vy​v˙x​=m2Cσr​σxr​+2Cσf​σxf​−21​ρCd​AF​(vx​+vwind​)2​+vy​ψ˙​v˙y​=−mvx​2Cαf​+2Cαr​​y˙​−(vx​+mvx​2Cαf​lf​−2Cαr​lr​​)ψ˙​+m2Cαf​​δψ¨​=−Iz​vx​2lf​Cαf​−2lr​Cαr​​y˙​−Iz​vx​2lf​2Cαf​+2lr​2Cαr​​ψ˙​+Iz​2lf​Cαf​​δ​(26)