1. DWA(Dynamic window approach)

    动态窗口法（DWA）主要是在速度空间中采样多组速度，并模拟机器人在这些速度下一定时间内的轨迹。在得到多组轨迹以后，对这些轨迹进行评价，选取最优轨迹所对应的速度来驱动机器人运动。

1.1 机器人运动模型

    动态窗口法将移动机器人的位置控制转换为速度控制。在利用速度模式对机器人运动轨迹进行预测时，首先需要对机器人的运动模型进行分析^[1]。移动机器人采用的是两轮差速模型，$v(t)和\omega (t)$分别代表机器人在世界坐标系下的平移速度与角速度，反映了机器人的运动轨迹。在机器人的编码器采样周期$\Delta t$内，位移较小，机器人作匀速直线运动，则机器人运动模型为:

x
(
t
)
=
x
(
t
−
1
)
+
v
(
t
)
Δ
t
cos
⁡
(
θ
(
t
−
1
)
)
y
(
t
)
=
y
(
t
−
1
)
+
v
(
t
)
Δ
t
sin
⁡
(
θ
(
t
−
1
)
)
θ
(
t
)
=
θ
(
t
−
1
)
+
ω
(
t
)
Δ
t
\begin{array}{l}x(t) = x(t - 1) + v(t)\Delta t\cos (\theta (t - 1))\\y(t) = y(t - 1) + v(t)\Delta t\sin (\theta (t - 1))\\\theta (t) = \theta (t - 1) + \omega (t)\Delta t\end{array}
x(t)=x(t−1)+v(t)Δtcos(θ(t−1))y(t)=y(t−1)+v(t)Δtsin(θ(t−1))θ(t)=θ(t−1)+ω(t)Δt​式中$x(t)、y(t)、\theta (t)$———t时刻机器人在世界坐标下的位姿。

1.2 速度采样

    动态窗口法将避障问题描述为速度空间中带约束的优化问题，其中约束主要包括差速机器人的非完整约束、环境障碍物的约束以及机器人结构的动力学约束。DWA算法的速度矢量空间示意图如图1-1所示，横坐标为机器人角速度$\omega$，纵坐标为机器人线速度$v$，其中
v
max
⁡
{v_{\max }}
vmax​、
v
min
⁡
{v_{\min }}
vmin​为机器人最大、最小线速度，
ω
max
⁡
{\omega _{\max }}
ωmax​、
ω
min
⁡
{\omega _{\min }}
ωmin​为机器人最大、最小角速度;整个区域为
v
s
{v_{s }}
vs​，所有白色区域
v
a
{v_{a }}
va​为机器人安全区域，
v
d
{v_{d }}
vd​为考虑电机扭矩在控制周期内限制的机器人可达速度范围，
v
r
{v_{r }}
vr​为上述3个集合的交集最终确定的动态窗口。

图1-1 速度矢量空间示意图

    根据机器人的速度限制，定义Vs为机器人线速度与角速度的集合，即动态窗口算法搜索求解的最大范围，满足：


V
s
=
{
(
v
,
ω
)
∣
v
min
⁡
≤
v
≤
v
min
⁡
,
ω
min
⁡
≤
ω
≤
ω
max
⁡
}
{V_s} = \{ (v,\omega )|{v_{\min }} \le v \le {v_{\min }},{\omega _{\min }} \le \omega \le {\omega _{\max }}\}
Vs​={(v,ω)∣vmin​≤v≤vmin​,ωmin​≤ω≤ωmax​}    采样周期
$\Delta t$内存在机器人最大、最小可到达的速度
$v$和角速度
$\omega$范围，需要进一步缩小动态窗口。在给定当前线速度

v
c
{v_{c }}
vc​和角速度

ω
c
{\omega _{c }}
ωc​条件下，下一时刻动态窗口

v
d
{v_{d }}
vd​满足：


V
d
=
{
(
v
,
ω
)
∣
v
c
−
v
˙
b
Δ
t
≤
v
≤
v
c
+
v
˙
a
Δ
t
,
ω
c
−
ω
˙
b
Δ
t
≤
ω
≤
ω
c
+
ω
˙
a
Δ
t
}
\begin{array}{r}{V_d} = \{ (v,\omega )|{v_c} - {{\dot v}_b}\Delta t \le v \le {v_c} + {{\dot v}_a}\Delta t,\\{\omega _c} - {{\dot \omega }_b}\Delta t \le \omega \le {\omega _c} + {{\dot \omega }_a}\Delta t\} \end{array}
Vd​={(v,ω)∣vc​−v˙b​Δt≤v≤vc​+v˙a​Δt,ωc​−ω˙b​Δt≤ω≤ωc​+ω˙a​Δt}​

式中

v
˙
a
{\dot v_a}
v˙a​——机器人最大线加速度;

     

ω
˙
a
{\dot \omega _a}
ω˙a​——机器人最大角加速度；

    整个机器人的运动轨迹，可以细分为若干个直线或圆弧运动，为保证机器人安全区域，在最大减速度条件下，当前速度应能在撞击障碍物之前减速为0，则定义机器人碰撞可行区域的线速度与角速度集合

V
a
{V_{a }}
Va​满足：


V
a
=
{
(
v
,
ω
)
∣
v
≤
2
d
i
s
t
(
v
,
ω
)
v
˙
b
,
ω
≤
2
d
i
s
t
(
v
,
ω
)
ω
˙
b
}
\begin{array}{r}{V_a} = \{ (v,\omega )|v \le \sqrt {2dist(v,\omega ){{\dot v}_b}} ,\\\omega \le \sqrt {2dist(v,\omega ){{\dot \omega }_b}} \} \end{array}
Va​={(v,ω)∣v≤2dist(v,ω)v˙b​​,ω≤2dist(v,ω)ω˙b​​}​式中

v
˙
b
{\dot v_b}
v˙b​ ——机器人最大线减速度，

     

ω
˙
b
{\dot \omega _b}
ω˙b​——机器人最大角减速度；

     
$dist(v,\omega )$———轨迹上与障碍物最近的距离(如图1-2所示)。

图1-2 $dist(v,\omega )$———轨迹上与障碍物最近的距离

    在速度矢量空间
V
r
{V_{r}}
Vr​中，根据线速度、角速度采样点数，将连续的速度矢量空间
V
r
{V_{r}}
Vr​离散化，得到离散的采样点$(v,\omega )$。对于每一个采样点，根据机器人运动学模型预测下一时刻机器人的多个运动轨迹生成，如图1-2所示。

图1-3 机器人多个轨迹生成图

1.3 评价函数

    在采样的速度组中，有若干组轨迹是可行的，因此采用评价函数的方式为每条轨迹进行评价,采用的评价函数如下:$$G(v,\omega )=\sigma (\alpha Heading(v,\omega )+\beta Obstacle(v,\omega )+\gamma Velocity(v,\omega ))$$

• 方位角评价函数$Heading(v,\omega )$——方位角不断地朝向终点位置函数。 在移动过程中，$Heading(v,\omega )$函数用于使机器人的朝向不断趋向终点方向，$\theta$越小，说明与终点的方位角越小。
  

  图1-4 方位角评价函数示意图
  

• 障碍物评价函数$Obstacle(v,\omega )$——评价机器人轨迹到障碍物距离函数。体现了机器人的避障能力，如果机器人的轨迹到障碍物的距离大于机器人半径，则没有发生碰撞的危险;

  图1-5 障碍物评价函数示意图
  

  反之，就说明碰撞风险大，舍弃这条轨迹。

• 速度评价函数$Velocity(v,\omega )$

    最后对评价函数进行归一化处理(Why?)：
    譬如对于障碍物距离评价标准，机器人传感器检测到的最小障碍物距离在二维空间中是不连续的，这种评价标准将导致评价函数不连续,也会导致某个项在评价函数中太占优势，因此将它们进行平滑处理。

    归一化处理方法: 每一项除以每一项的总和

n
o
r
m
a
l
_
h
e
a
d
(
i
)
=
h
e
a
d
(
i
)
∑
i
=
1
n
h
e
a
d
(
i
)
n
o
r
m
a
l
_
d
i
s
t
(
i
)
=
d
i
s
t
(
i
)
∑
i
=
1
n
d
i
s
t
(
i
)
n
o
r
m
a
l
_
v
o
l
o
c
i
t
y
(
i
)
=
v
o
l
o
c
i
t
y
(
i
)
∑
i
=
1
n
v
o
l
o
c
i
t
y
(
i
)
\begin{array}{c}normal\_head(i) = \frac{{head(i)}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {head(i)} }}\\normal\_dist(i) = \frac{{dist(i)}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {dist(i)} }}\\normal\_volocity(i) = \frac{{volocity(i)}}{{\sum\limits_{i = 1}^n {volocity(i)} }}\end{array}
normal_head(i)=i=1∑n​head(i)head(i)​normal_dist(i)=i=1∑n​dist(i)dist(i)​normal_volocity(i)=i=1∑n​volocity(i)volocity(i)​​    其中，$n$为采样的所有轨迹，$i$为待评价的当前轨迹。
    三者构成的评价函数的物理意义是：在局部导航过程中，使得机器人避开障碍，朝着目标以较快速度行驶。
    Dieter Fox^[2]在文章中给出了评价指标可视化的图像（图1-6）。

图1-6 评价指标可视化

2. 实践案例——基于ROS实现Astar与DWA算法

    本项目以Astar算法作为全局路径规划算法，DWA作为局部路径规划算法，实现效果如下。（具体原理与算法代码解释与说明会在之后的文章附上）

参考文献

[1]劳彩莲,李鹏,冯宇.基于改进A*与DWA算法融合的温室机器人路径规划[J].农业机械学报,2021,52(01):14-22.
[2]Dieter Fox,Wolfram Burgard,Sebastian Thrun. The dynamic window approach to collision avoidance.[J]. IEEE Robot. Automat. Mag.,1997,4(1).