文章目录

参考资料
1. 基本概念
- 1.1 MPC vs optimal control
- 1.2 MPC优点
2. MPC整体流程
- 2.1 预测区间与控制区间
- 2.2 约束
- 2.3 MPC流程
- 2.4 MPC vs. LQR
3. MPC设计
4. MPC应用——无人车轨迹跟踪
- 4.1 MPC建模
- 4.2 python代码实现
- - 4.2.1 参数
  - 4.2.2 运动学模型
  - 4.2.3 参考轨迹
  - 4.2.4 矩阵拍平
  - 4.2.5 角度归一化到[-pi，pi]
  - 4.2.6 MPC控制实现
  - 4.2.7 主函数
5. MPC开源库/程序

参考资料

bilibili的DR_CAN讲解的MPC模型预测控制器
知乎上一个比较通俗易懂的解释
模型预测控制
轨迹跟踪模型预测控制(MPC)原理与python实现
DR_CAN笔记MPC
MPC控制笔记

1. 基本概念

模型预测控制（MPC）的核心思想就是以优化方法求解最优控制器，其中优化方法大多时候采用二次规划（Quadratic Programming）。
MPC控制器优化得到的控制输出也是系统在未来有限时间步的控制序列。当然，由于理论构建的模型与系统真实模型都有误差，所以，实际上更远未来的控制输出对系统控制的价值很低，故MPC仅执行输出序列中的第一个控制输出。

模型(Model)

分为机理模型和基于数据的模型（例如用神经网络训练的一个model）使用基于数据的模型的MPC可以结合model based RL使用。

预测(Predict)

模型就是用来预测的，预测的目的是为了更好的决策

控制(Control)

控制即决策，根据预测来作出决策。

MPC利用一个已有的模型、系统当前的状态和未来的控制量，来预测系统未来的输出，然后与我们期望的系统输出做比较，得到一个损失函数（代价函数），即：

$损失函数 = (未来输出(模型，当前状态，未来控制量)-期望输出)^2$

由于上式中模型、当前状态、期望输出都是已知的，因此只有未来控制量一个自变量。采用二次规划的方法求解出某个未来控制量，使得损失函数最小，前面提到，这个未来控制量的第一个元素就是当前控制周期的控制量。

1.1 MPC vs optimal control

最优控制（optimal control）指的是在一定的约束情况下达到最优状态的系统表现，其中约束情况通常是实际环境所带来的限制，例如汽车中的油门不能无限大等。

最优控制强调的是“最优”，一般最优控制需要在整个时间域上进行求优化(从0时刻到正无穷时刻的积分)，这样才能保证最优性，这是一种很贪婪的行为，需要消耗大量算力。同时，系统如果是一个时变系统，或者面临扰动的话，前一时刻得到的最优并不一定是下一时刻的最优值。

$J=\int_{0}^{\infty} E^{T} Q E+U^{T} R U d t$

最优控制常用解法有：变分法，极大值原理，动态规划，LQR（LQR可以参考博客）。

MPC仅考虑未来几个时间步，一定程度上牺牲了最优性。

1.2 MPC优点

MPC善于处理多输入多输出系统（MIMO）；
MPC可以处理约束，如安全性约束，上下阈值；
MPC是一种向前考虑未来时间步的有限时域优化方法（一定的预测能力）

最优控制要求在整个时间优化

实际上MPC采用了一个折中的策略，既不是像最优控制那样考虑整个时域，也不是仅仅考虑当前，而是考虑未来的有限时间域。

2. MPC整体流程

2.1 预测区间与控制区间

对于一般的离散化系统（因为实际计算机实现的控制系统都是离散的系统，连续系统可以进行离散化操作），在k时刻，我们可以测量出系统的当前状态 $y (k)$ ，再通过计算得到的 $u (k), u (k + 1), u (k + 2) ... u (k + j)$ 得到系统未来状态的估计值 $y (k + 1), y (k + 2) ... y (k + j)$ ；

将预测状态估计的部分称为预测区间（Predictive Horizon）,指的是一次优化后预测未来输出的时间步的个数。

将控制估计的部分称为控制区间（Control Horizon），在得到最优输入之后，我们只施加当前时刻的输入u(k)，即控制区间的第一位控制输入。

如下图 $[k, k + m]$ 范围为控制区间，之后的红色部分称为 held constant，其中控制区间是要通过优化器来进行优化的参数。

过小的控制区间，可能无法做到较好的控制，而较大的控制区间，比如与预测区间相等，则会导致只有前一部分的控制范围才会有较好的效果，而后一部分的控制范围则收效甚微，而且将带来大量的计算开销。

2.2 约束

对于约束，一般分为Hard约束和Soft约束，Hard约束是不可违背必须遵守的，在控制系统中，输入输出都可能会有约束限制，但是在设计时不建议将输入输出都给予Hard约束，因为这两部的约束有可能是有重叠的，导致优化器会产生不可行解。

Hard约束不能违反，Soft约束可以；比如Hard约束是刹车踩的幅度；Soft约束是速度

建议输出采用Soft约束，而输入的话建议输入和输入参数变化率二者之间不要同时为Hard约束，可以一个Hard一个Soft。

2.3 MPC流程

模型预测控制在k时刻共需三步；

第一步：获取系统的当前状态；
第二步：基于 $u (k), u (k + 1), u (k + 2) ... u (k + m)$ 进行最优化处理；

离散系统的代价函数可以参考

$J=\sum_{k}^{m-1}E_k^TQE_k+u_k^TRu_k+E_N^TFE_N$

其中 $E_N$ 表示误差的终值，也是衡量优劣的一种标准。
第三步：只取 $u (k)$ 作为控制输入施加在系统上。

在下一时刻重复以上三步，在下一步进行预测时使用的就是下一步的状态值，我们将这样的方案称为滚动优化控制（Receding Horizon Control）。

预测控制的优化不是一次离线进行，而是随着采样时刻的前进反复地在线进行，故称为滚动优化。这种滚动优化虽然得不到理想的全局最优解，但是反复对每一采样时刻的偏差进行优化计算，将可及时地校正控制过程中出现的各种复杂情况。

2.4 MPC vs. LQR

从以下几个方面进行阐述：

研究对象：是否线性化
状态方程：是否离散化
目标函数：误差和控制量的极小值
工作时域：预测时域，控制时域，滚动优化，求解一次
求解方法：QP求解器，变分法求解黎卡提方程
LQR和MPC的优缺点：滚动优化，求解时域，实时性，算力，工程常用方法

具体可参考博客

3. MPC设计

当模型是线性的时候（非线性系统可以线性化），MPC的设计求解一般使用二次规划方法。

设线性模型为以下形式：
$x_{k+1}=Ax_k+Bu_k+C \tag{1}$

假定未来 $m$ 步的控制输入已知，为 $u_k, u_{k+1}, u_{k+2}, ..., u_{k+m}$ ，根据以上模型与输入，我们可以计算未来 $m$ 步的状态：

$\begin{aligned} x_{k+1}&=Ax_k+Bu_k+C \\ x_{k+2}&=Ax_{k+1}+Bu_{k+1}+C=A(Ax_k+Bu_k+C)+Bu_{k+1}+C=A^2x_{k}+ABu_k+Bu_{k+1}+AC+C \\ x_{k+3}&=A^3x_k+A^2Bu_{k}+AB_{k+1}+Bu_{k+2}+A^2C+AC+C\\ ...\\ x_{k+m}&=A^{m}x_{k}+A^{m-1}Bu_k+A^{m-2}Bu_{k+1}+...+A^{m-i}Bu_{k+i-1}+...+Bu_{k+m-1}+A^{m-1}C+A^{m-2}C+...+C \end{aligned}$

将上面 $m$ 步写成矩阵向量形式：

$\mathcal{X}=\mathcal{A}x_k+\mathcal{B}\mathbf{u}+\mathcal{C} \tag{2}$

其中，
$\mathcal{X}=\left[x_{k+1}, x_{k+2}, x_{k+3},...x_{k+m}\right]^T$
$\mathbf{u}=\left[u_k,u_{k+1},u_{k+2},...,u_{k+m-1}\right]^T$
$\mathcal{A}=\left[A, A^2 ,A^3 ,... ,A^m\right]^T$

$\mathcal{B}=\begin{pmatrix}0&0&...&0\\ B&0&...&0\\ AB&B&...&0\\ ...&...&...&...\\ A^{m-1}B&A^{m-2}B&...&B\end{pmatrix}$

$\mathcal{C}=\left[\begin{array}{c} C \\ A C+C \\ A^{2} C+A C+C \\ \ldots \\ A^{k+m-1} C+\ldots+C \end{array}\right]$

上式 $\mathcal{B}$ 中的下三角形式，直接反映了系统在时间上的因果关系，即 $k + 1$ 时刻的输入对 $k$ 时刻的输出没有影响， $k + 2$ 时刻的输入对 $k$ 和 $k + 1$ 时刻没有影响。

假定参考轨迹为 $\overline{\mathcal{X}}=\left[\begin{array}{lllll}\bar{x}_{k+1} & \bar{x}_{k+2} & \bar{x}_{k+3} & \ldots & \bar{x}_{k+m}\end{array}\right]^{T}$ ,则MPC的一个简单的目标代价函数如下：
$\min \mathcal{J}=\mathcal{E}^T Q \mathcal{E}+\mathbf{u}^T R \mathbf{u} \\ \text{s.t. } u_{min}\leq \mathbf{u}\leq u_{max} \tag{3}$

其中， $\mathcal{E}=\mathcal{X}-\overline{\mathcal{X}}=\left[\begin{array}{llll}x_{k+1}-\bar{x}_{k+1} & x_{k+2}-\bar{x}_{k+2} & \ldots & x_{k+m}-\bar{x}_{k+m}\end{array}\right]^{T}$

$\mathbf{u}^T R \mathbf{u}$ 这一项是为了让控制输入不会太大，因此代价函数中添加了一项对控制量的约束。

将式(2)代入式(3)，则优化变量仅剩 $\mathbf{u}$ 。以上最优化问题可用二次规划方法求解，得到满足目标代价函数的最优控制序列 $\mathbf{u}=\left\{u_k,u_{k+1},u_{k+2}...u_{k+m−1}\right\}$ 。

当转换成式（3）后，可以利用凸优化库进行二次规划求解，例如python的cvxopt，OSQP: An Operator Splitting Solver for Quadratic Programs，Casdi等。

4. MPC应用——无人车轨迹跟踪

4.1 MPC建模

设车辆的状态量偏差和控制量偏差如式 ( 4 ) 所示：
$\tag{4} \tilde{\boldsymbol{x}}=\left[\begin{array}{c} \dot{x}-\dot{x}_{r} \\ \dot{y}-\dot{y}_{r} \\ \dot{\varphi}-\dot{\varphi}_{r} \end{array}\right], \tilde{\boldsymbol{u}}=\left[\begin{array}{c} v-v_{r} \\ \delta-\delta_{r} \end{array}\right]$
基于先前的运动学模型的离散状态空间方程如下，
$\tag{5} \tilde{\boldsymbol{x}}(k+1)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & -T v_{r} \sin \varphi_{r} \\ 0 & 1 & T v_{r} \cos \varphi_{r} \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \tilde{\boldsymbol{x}}(k)+\left[\begin{array}{cc} T \cos \varphi_{r} & 0 \\ T \sin \varphi_{r} & 0 \\ T \frac{\tan \delta_{r}}{l} & T \frac{v_{r}}{l \cos ^{2} \delta_{r}} \end{array}\right] \tilde{\boldsymbol{u}}(k)=\boldsymbol{A} \tilde{\boldsymbol{x}}(k)+\boldsymbol{B} \tilde{\boldsymbol{u}}(k)$

为了表示控制系统达到稳定控制所付出的代价，MPC控制的代价函数定义如下：
$\tag{6} \min J(\boldsymbol{U})=\sum_{k=0}^{N-1}\left(\tilde{\boldsymbol{x}}(k)^{T} Q \tilde{\boldsymbol{x}}(k)+\tilde{\boldsymbol{u}}(k)^{T} R \tilde{\boldsymbol{u}}(k)\right)+\tilde{\boldsymbol{x}}(N)^{T} Q_{f} \tilde{\boldsymbol{x}}(N)$
其中函数参数 $U=\left(u_{0}, u_{1}, \ldots, u_{N}\right)$ ，并且矩阵 $Q, Q_{f}, R$ 为正定矩阵，即
$Q=Q^{T} \geq 0, \quad Q_{f}=Q_{f}^{T} \geq 0, \quad R=R^{T}>0$

Q	Q_(f)	R
给定状态代价矩阵	最终状态代价矩阵	输入代价矩阵

$N$ : 时间范围(Time Horizon)
$Q ， R$ : 分别设定状态偏差和输入的相对权重
$R > 0$ : 意味着任何非零输入都增加 $J$ 的代价
$\tilde{\boldsymbol{x}}(k)^{T} Q \tilde{\boldsymbol{x}}(k)$ : 衡量状态偏差
$\tilde{\boldsymbol{u}}(k)^{T} R \tilde{\boldsymbol{u}}(k)$ : 衡量输入大小
$\tilde{\boldsymbol{x}}(N)^{T} Q_{f} \tilde{\boldsymbol{x}}(N)$ : 衡量最终状态偏差

对于公式(6)，它需要服从的约束条件包括
$\tag{7} \left\{ \begin{aligned} &\text{运动学模型约束——}&\tilde{\boldsymbol{x}}(k+1)=\boldsymbol{A} \tilde{\boldsymbol{x}}(k)+\boldsymbol{B} \tilde{\boldsymbol{u}}(k)\\ &\text{控制量约束——}&\left|\tilde{\boldsymbol{u}}(k)\right| \leq \tilde{\boldsymbol{u}}_{max}\\ &\text{初始状态——}&\tilde{\boldsymbol{x}}(0)=\tilde{\boldsymbol{x}}_0 \end{aligned} \right.$

4.2 python代码实现

完整程序见GitHub仓库

4.2.1 参数

# mpc parameters
NX = 3  # x = x, y, yaw
NU = 2  # u = [v,delta]
T = 8  # horizon length
R = np.diag([0.1, 0.1])  # input cost matrix
Rd = np.diag([0.1, 0.1])  # input difference cost matrix
Q = np.diag([1, 1, 1])  # state cost matrix
Qf = Q  # state final matrix
#车辆
dt=0.1 # 时间间隔，单位：s
L=2 # 车辆轴距，单位：m
v = 2 # 初始速度
x_0=0 # 初始x
y_0=-3 #初始y
psi_0=0 # 初始航向角
MAX_STEER = np.deg2rad(45.0)  # maximum steering angle [rad]
MAX_DSTEER = np.deg2rad(45.0)  # maximum steering speed [rad/s]
MAX_VEL = 2.0  # maximum accel [m/s]

4.2.2 运动学模型

import math
class KinematicModel_3:
  """假设控制量为转向角delta_f和加速度a
  """
  def __init__(self, x, y, psi, v, L, dt):
    self.x = x
    self.y = y
    self.psi = psi
    self.v = v
    self.L = L
    # 实现是离散的模型
    self.dt = dt
  def update_state(self, a, delta_f):
    self.x = self.x+self.v*math.cos(self.psi)*self.dt
    self.y = self.y+self.v*math.sin(self.psi)*self.dt
    self.psi = self.psi+self.v/self.L*math.tan(delta_f)*self.dt
    self.v = self.v+a*self.dt
  def get_state(self):
    return self.x, self.y, self.psi, self.v
    def state_space(self, ref_delta, ref_yaw):
    """将模型离散化后的状态空间表达
    Args:
        ref_delta (_type_): 参考的转角控制量
        ref_yaw (_type_): 参考的偏航角
    Returns:
        _type_: _description_
    """
    A = np.matrix([
        [1.0, 0.0, -self.v*self.dt*math.sin(ref_yaw)],
        [0.0, 1.0, self.v*self.dt*math.cos(ref_yaw)],
        [0.0, 0.0, 1.0]])
    B = np.matrix([
        [self.dt*math.cos(ref_yaw), 0],
        [self.dt*math.sin(ref_yaw), 0],
        [self.dt*math.tan(ref_delta)/self.L, self.v*self.dt /(self.L*math.cos(ref_delta)*math.cos(ref_delta))]
    ])
    C = np.eye(3)
    return A, B, C

4.2.3 参考轨迹

class MyReferencePath:
    def __init__(self):
        # set reference trajectory
        # refer_path包括4维：位置x, 位置y， 轨迹点的切线方向, 曲率k 
        self.refer_path = np.zeros((1000, 4))
        self.refer_path[:,0] = np.linspace(0, 100, 1000) # x
        self.refer_path[:,1] = 2*np.sin(self.refer_path[:,0]/3.0)+2.5*np.cos(self.refer_path[:,0]/2.0) # y
        # 使用差分的方式计算路径点的一阶导和二阶导，从而得到切线方向和曲率
        for i in range(len(self.refer_path)):
            if i == 0:
                dx = self.refer_path[i+1,0] - self.refer_path[i,0]
                dy = self.refer_path[i+1,1] - self.refer_path[i,1]
                ddx = self.refer_path[2,0] + self.refer_path[0,0] - 2*self.refer_path[1,0]
                ddy = self.refer_path[2,1] + self.refer_path[0,1] - 2*self.refer_path[1,1]
            elif i == (len(self.refer_path)-1):
                dx = self.refer_path[i,0] - self.refer_path[i-1,0]
                dy = self.refer_path[i,1] - self.refer_path[i-1,1]
                ddx = self.refer_path[i,0] + self.refer_path[i-2,0] - 2*self.refer_path[i-1,0]
                ddy = self.refer_path[i,1] + self.refer_path[i-2,1] - 2*self.refer_path[i-1,1]
            else:      
                dx = self.refer_path[i+1,0] - self.refer_path[i,0]
                dy = self.refer_path[i+1,1] - self.refer_path[i,1]
                ddx = self.refer_path[i+1,0] + self.refer_path[i-1,0] - 2*self.refer_path[i,0]
                ddy = self.refer_path[i+1,1] + self.refer_path[i-1,1] - 2*self.refer_path[i,1]
            self.refer_path[i,2]=math.atan2(dy,dx) # yaw
            # 计算曲率:设曲线r(t) =(x(t),y(t)),则曲率k=(x'y" - x"y')/((x')^2 + (y')^2)^(3/2).
            # 参考：https://blog.csdn.net/weixin_46627433/article/details/123403726
            self.refer_path[i,3]=(ddy * dx - ddx * dy) / ((dx ** 2 + dy ** 2)**(3 / 2)) # 曲率k计算
    def calc_track_error(self, x, y):
        """计算跟踪误差
        Args:
            x (_type_): 当前车辆的位置x
            y (_type_): 当前车辆的位置y
        Returns:
            _type_: _description_
        """
        # 寻找参考轨迹最近目标点
        d_x = [self.refer_path[i,0]-x for i in range(len(self.refer_path))] 
        d_y = [self.refer_path[i,1]-y for i in range(len(self.refer_path))] 
        d = [np.sqrt(d_x[i]**2+d_y[i]**2) for i in range(len(d_x))]
        s = np.argmin(d) # 最近目标点索引
        yaw = self.refer_path[s, 2]
        k = self.refer_path[s, 3]
        angle = normalize_angle(yaw - math.atan2(d_y[s], d_x[s]))
        e = d[s]  # 误差
        if angle < 0:
            e *= -1
        return e, k, yaw, s
    def calc_ref_trajectory(self, robot_state, dl=1.0):
        """计算参考轨迹点，统一化变量数组，便于后面MPC优化使用
            参考自https://github.com/AtsushiSakai/PythonRobotics/blob/eb6d1cbe6fc90c7be9210bf153b3a04f177cc138/PathTracking/model_predictive_speed_and_steer_control/model_predictive_speed_and_steer_control.py
        Args:
            robot_state (_type_): 车辆的状态(x,y,yaw,v)
            dl (float, optional): _description_. Defaults to 1.0.
        Returns:
            _type_: _description_
        """
        e, k, ref_yaw, ind = self.calc_track_error(robot_state[0], robot_state[1])
        xref = np.zeros((NX, T + 1))
        dref = np.zeros((NU, T)) # 参考控制量
        ncourse = len(self.refer_path)
        xref[0, 0] = self.refer_path[ind,0]
        xref[1, 0] = self.refer_path[ind, 1]
        xref[2, 0] = self.refer_path[ind, 2]
        # 参考控制量[v,delta]
        ref_delta = math.atan2(L*k, 1)
        dref[0, :] = robot_state[3]
        dref[1, :] = ref_delta
        travel = 0.0
        for i in range(T + 1):
            travel += abs(robot_state[3]) * dt
            dind = int(round(travel / dl))
            if (ind + dind) < ncourse:
                xref[0, i] = self.refer_path[ind + dind,0]
                xref[1, i] = self.refer_path[ind + dind,1]
                xref[2, i] = self.refer_path[ind + dind,2]
            else:
                xref[0, i] = self.refer_path[ncourse - 1,0]
                xref[1, i] = self.refer_path[ncourse - 1,1]
                xref[2, i] = self.refer_path[ncourse - 1,2]
        return xref, ind, dref

4.2.4 矩阵拍平

def get_nparray_from_matrix(x):
    return np.array(x).flatten()

4.2.5 角度归一化到[-pi，pi]

def normalize_angle(angle):
    """
    Normalize an angle to [-pi, pi].
    :param angle: (float)
    :return: (float) Angle in radian in [-pi, pi]
    copied from https://atsushisakai.github.io/PythonRobotics/modules/path_tracking/stanley_control/stanley_control.html
    """
    while angle > np.pi:
        angle -= 2.0 * np.pi
    while angle < -np.pi:
        angle += 2.0 * np.pi
    return angle

4.2.6 MPC控制实现

def linear_mpc_control(xref, x0, delta_ref,ugv):
    """
    linear mpc control
    xref: reference point
    x0: initial state
    delta_ref: reference steer angle
    ugv:车辆对象
    """
    x = cvxpy.Variable((NX, T + 1))
    u = cvxpy.Variable((NU, T)) 
    cost = 0.0  # 代价函数
    constraints = []  # 约束条件
    for t in range(T):
        cost += cvxpy.quad_form(u[:, t]-delta_ref[:,t], R)
        if t != 0:
            cost += cvxpy.quad_form(x[:, t] - xref[:, t], Q)
        A, B, C = ugv.state_space(delta_ref[1,t], xref[2,t])
        constraints += [x[:, t + 1]-xref[:, t+1] == A @ (x[:, t]-xref[:, t]) + B @ (u[:, t]-delta_ref[:,t]) ]
    cost += cvxpy.quad_form(x[:, T] - xref[:, T], Qf)
    constraints += [(x[:, 0]) == x0]
    constraints += [cvxpy.abs(u[0, :]) <= MAX_VEL]
    constraints += [cvxpy.abs(u[1, :]) <= MAX_STEER]
    prob = cvxpy.Problem(cvxpy.Minimize(cost), constraints)
    prob.solve(solver=cvxpy.ECOS, verbose=False)
    if prob.status == cvxpy.OPTIMAL or prob.status == cvxpy.OPTIMAL_INACCURATE:
        opt_x = get_nparray_from_matrix(x.value[0, :])
        opt_y = get_nparray_from_matrix(x.value[1, :])
        opt_yaw = get_nparray_from_matrix(x.value[2, :])
        opt_v = get_nparray_from_matrix(u.value[0, :])
        opt_delta = get_nparray_from_matrix(u.value[1, :])
    else:
        print("Error: Cannot solve mpc..")
        opt_v, opt_delta, opt_x, opt_y, opt_yaw = None, None, None, None, None, 
    return opt_v, opt_delta, opt_x, opt_y, opt_yaw

4.2.7 主函数

from celluloid import Camera # 保存动图时用，pip install celluloid
# 使用随便生成的轨迹
def main():
    reference_path = MyReferencePath()
    goal = reference_path.refer_path[-1,0:2]
    # 运动学模型
    ugv = KinematicModel_3(x_0, y_0, psi_0, v, L, dt)
    x_ = []
    y_ = []
    fig = plt.figure(1)
    # 保存动图用
    camera = Camera(fig)
    # plt.ylim([-3,3])
    for i in range(500):
        robot_state = np.zeros(4)
        robot_state[0] = ugv.x
        robot_state[1] = ugv.y
        robot_state[2]=ugv.psi
        robot_state[3]=ugv.v
        x0 = robot_state[0:3]
        xref, target_ind, dref = reference_path.calc_ref_trajectory(robot_state)
        opt_v, opt_delta, opt_x, opt_y, opt_yaw = linear_mpc_control(xref, x0, dref, ugv)
        ugv.update_state(0, opt_delta[0])  # 加速度设为0，恒速
        x_.append(ugv.x)
        y_.append(ugv.y)
        # 显示动图
        plt.cla()
        plt.plot(reference_path.refer_path[:,0], reference_path.refer_path[:,1], "-.b",  linewidth=1.0, label="course")
        plt.plot(x_, y_, "-r", label="trajectory")
        plt.plot(reference_path.refer_path[target_ind,0], reference_path.refer_path[target_ind,1], "go", label="target")
        # plt.axis("equal")
        plt.grid(True)
        plt.pause(0.001)
        # camera.snap()
        # 判断是否到达最后一个点
        if np.linalg.norm(robot_state[0:2]-goal)<=0.1:
            print("reach goal")
            break
    # animation = camera.animate()
    # animation.save('trajectory.gif')
if __name__=='__main__':
    main()

跟踪效果如下：

（跟踪效果不是很好，我并没有进一步调整，就先这样吧···。）

5. MPC开源库/程序

do-mpc
mpc.pytorch

标签 PC, 控制, 自动

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【自动驾驶】模型预测控制(MPC)实现轨迹跟踪