协方差矩阵与相关系数矩阵

前言

  本篇博客主要介绍一下方差、协方差及相关系数的相关知识，进而引入了协方差矩阵与相关系数矩阵，并结合相关实例进行说明。

1. 方差、协方差与相关系数

  在《概率论与数理统计》中，方差用来度量单个随机变量$X$的离散程度，记为$DX$，计算公式如下：

D
X
=
E
(
X
−
E
X
)
2
=
E
X
2
−
E
2
X
\begin{aligned} DX &= E(X-EX)^2 \\[3pt] &= EX^2 - E^2X \end{aligned}
DX​=E(X−EX)2=EX2−E2X​  数学表达式为：
σ
2
(
x
)
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
x
ˉ
)
2
\sigma ^2(x) = \frac {1} {n-1}\sum _{i=1} ^N (x_i - \bar x)^2
σ2(x)=n−11​i=1∑N​(xi​−xˉ)2

  即方差 = 平方的期望 - 期望的平方

  协方差用来度量两个随机变量$X$和$Y$间的相似程度，记为$Cov(X,Y)$，计算公式为：

C
o
v
(
X
,
Y
)
=
E
[
(
X
−
E
X
)
⋅
(
Y
−
E
Y
)
]
=
E
(
X
Y
)
−
E
X
⋅
E
Y
\begin{aligned} Cov(X,Y) &= E[(X - EX) \cdot (Y - EY)] \\[3pt] &= E(XY) - EX \cdot EY \end{aligned}
Cov(X,Y)​=E[(X−EX)⋅(Y−EY)]=E(XY)−EX⋅EY​  数学表达式为：
σ
(
x
,
y
)
=
1
n
−
1
∑
i
=
1
N
(
x
i
−
x
ˉ
)
(
y
i
−
y
ˉ
)
\sigma (x, y) = \frac {1} {n-1}\sum _{i=1} ^N (x_i - \bar x) (y_i - \bar y)
σ(x,y)=n−11​i=1∑N​(xi​−xˉ)(yi​−yˉ​)

  从公式上来看，协方差是两个变量与自身期望做差再相乘，然后对乘积取期望。也就是说，当其中一个变量的取值大于自身期望，另一个变量的取值也大于自身期望时，即两个变量的变化趋势相同，此时，两个变量之间的协方差取正值。反之，即其中一个变量大于自身期望时，另外一个变量小于自身期望，那么这两个变量之间的协方差取负值。

  相关系数，也叫皮尔逊(Pearson)相关系数，用来度量两个随机变量$X$和$Y$间的相关程度，记为
ρ
X
Y
\rho_{XY}
ρXY​，计算公式为：

ρ
X
Y
=
C
o
v
(
X
,
Y
)
D
X
D
Y
\rho_{XY} = \frac {Cov(X,Y)} {\sqrt {DX} \sqrt {DY}}
ρXY​=DX​DY​Cov(X,Y)​  若
ρ
X
Y
>
\rho_{XY} > 0
ρXY​>0，表示随机变量$X$和$Y$呈正相关；
  若
ρ
X
Y
<
\rho_{XY} < 0
ρXY​<0，表示随机变量$X$和$Y$呈负相关；
  若
ρ
X
Y
=
\rho_{XY} = 0
ρXY​=0，表示随机变量$X$和$Y$不相关，即相互独立；
  若
ρ
X
Y
=
±
1
\rho_{XY} = \pm1
ρXY​=±1，表示随机变量$X$和$Y$呈线性相关；

  相关系数也可以看成协方差：一种剔除了两个变量量纲影响、标准化后的特殊协方差，它消除了两个变量变化幅度的影响，而只是单纯反应两个变量每单位变化时的相似程度。

2. 协方差矩阵

  在实际场景中，我们在描述一个物体时，并不会单单从一个或两个维度去描述，比如说，在描述一个神经网络模型的性能时，需要从模型的大小，精度，推理时间等多个维度来衡量。在进行多维数据分析时，不同维度之间的相关程度就需要协方差矩阵(covariance matrix)来描述，维度之间的两两相关程度就构成了协方差矩阵，而协方差矩阵主对角线上的元素即为每个维度上的数据方差。
  协方差矩阵的表达式为：
∑
=
[
σ
(
x
1
,
x
1
)
…
σ
(
x
1
,
x
n
)
⋮
⋱
⋮
σ
(
x
n
,
x
1
)
…
σ
(
x
n
,
x
n
)
]
\sum = \begin{bmatrix} \sigma (x_1, x_1) & \dots & \sigma (x_1, x_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \sigma (x_n, x_1) & \dots & \sigma (x_n, x_n) \\ \end{bmatrix}
∑=​σ(x1​,x1​)⋮σ(xn​,x1​)​…⋱…​σ(x1​,xn​)⋮σ(xn​,xn​)​​

3. 相关系数矩阵

  顾名思义，就是由相关系数组成的矩阵(correlation matrix)，也叫系数矩阵，矩阵中的每个元素的取值范围为[-1, 1]。
  相关系数矩阵的表达式为：
C
=
[
ρ
(
x
1
,
x
1
)
…
ρ
(
x
1
,
x
n
)
⋮
⋱
⋮
ρ
(
x
n
,
x
1
)
…
ρ
(
x
n
,
x
n
)
]
=
[
1
…
ρ
(
x
1
,
x
n
)
⋮
⋱
⋮
ρ
(
x
n
,
x
1
)
…
1
]
\begin{aligned} C &= \begin{bmatrix} \rho(x_1, x_1) & \dots & \rho(x_1, x_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho(x_n, x_1) & \dots & \rho(x_n, x_n) \\ \end{bmatrix}\\[5pt] &= \begin{bmatrix} 1 & \dots & \rho(x_1, x_n) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \rho(x_n, x_1) & \dots & 1 \\ \end{bmatrix} \end{aligned}
C​=​ρ(x1​,x1​)⋮ρ(xn​,x1​)​…⋱…​ρ(x1​,xn​)⋮ρ(xn​,xn​)​​=​1⋮ρ(xn​,x1​)​…⋱…​ρ(x1​,xn​)⋮1​​​