最小生成树（贪心算法）
概念
- 一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。
- 连通图有多种连接方式，而其中最小的连通图，就是最小生成树
- 连通图分为：无向、有向
- 无向连通图：所以顶点相连，但各个边都没有方向
- 有向连通图：边有方向
1.普利姆算法（Prim）-----最近顶点策略
-
策略：选择图中的一个顶点作为起始点，每一步贪心选择不在当前生成树中的最近顶点加入生成树中，直到所有顶点都加入到树中。
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算法如下：
（1）、假如G为无向连通带权图，每两个相邻节点构成一个带权边，其值设为：权值。即:(所有每相邻的两个节点都有各自的权值，只是权值大小不同)
（2）、设集合 W和D，W用于存放G的最小生成树的顶点集合，D存放G的最小生成树的权值集合
（3）、选中G的一个节点 (其索引为data-0) 作为初值，从顶点data0开始构建最小生成树。集合D的初值为D{}。
（4）、标记W[data0]=1.表示标记已被选中的节点
（5）、data0节点找出周围相邻，且带权边最小的节点(其索引为data-n)。
（6）、将节点data-n加入集合W。标记W[data-n]=1;将带权边(data0,data-n)加入集合D
（7）、重复上面步骤
-
图解步骤：
（1）、无向连通图
（2）、以节点A开始延申：发现（A,G）间的权值最小，于是选中G为连通点
（3）、以A、G节点为顶点找与之相邻的最小权值边：发现（G,B）间的带权边值最小，选中B
（4）、又以 A、G、B节点为顶点找与之相邻的最小权值边：发现（G,E）间的带权边值最小，选中E
（5）、又以 A、G、B、E节点为顶点找与之相邻的最小权值边：发现（B,A）与（E,F）间的带权边值最相同且最小，但A和B节点都是已使用过的节点，所以选中 F 节点
（6）、依次选择，得到最后的最小生成树
代码如下：
import java.util.Arrays;
/*
贪心策略：最小生成树-普里姆算法
：在包含n个顶点的无向连通图中，找出只有（n-1）条边且包含n个顶点的连通子图。使其形成最小连通子图。连通子图不能出现回路
分析：
1.设置集合 W和集合 D 。其中W存入的是无向连通图中最小生成树的顶点集合；D存入的是最小生成树每相邻两个顶点之间的连接边的集合
2.另集合W的初值为 W{w0}(即从w0顶点开始构建最小生成树)，另集合D初始值为 D{}
3.设V为还未被选中的顶点。
4.从w与v=V-W 中组成的所有带权边中选出最小的带权边(wn,vn).
5.将顶点vn加入集合W中。此时集合W{wn,vn},集合D{(wn,vn)}
6.重复上面步骤，直到V中所有顶点都加入到了W中，边有n-1条带权边。结束
代码：探讨修路问题
*/
public class test1 {
public static void main(String[] args) {
//所有节点
char[] ndata=new char[]{'A','B','C','D','E','F','G'};
//获取节点个数
int nodes = ndata.length;
//邻接矩阵.用较大的数10000表示两点不连通
int[][] ndlenght=new int[][]{
//A ,B,C, D , E , F ,G
{10000,5,7,10000,10000,10000,2}, //A
{5,10000,10000,9,10000,10000,3}, //B
{7,10000,10000,10000,8,10000,10000},//C
{10000,9,10000,10000,10000,4,10000},//D
{10000,10000,8,10000,10000,5,4}, //E
{10000,10000,10000,4,5,10000,6}, //F
{2,3,10000,10000,4,6,10000}, //G
};
//创建图对象
Chart chart=new Chart(nodes);
//创建生成数对象
MinTree mt=new MinTree();
//创建邻接矩阵
mt.creathart(chart,nodes,ndata,ndlenght);
//获取矩阵
// mt.dischart(chart);
mt.Prim(chart,0);
}
}
/*
第二步：
创建生成树对象
*/
class MinTree{
/**
* 创建邻接矩阵
* @param chart :图对象
* @param nodes ：节点个数
* @param ndata :存放节点数据
* @param ndlenght :带权边
*/
public void creathart(Chart chart,int nodes,char[] ndata,int[] [] ndlenght){
//i:已经被选中的节点，ndata[i0]就是为初值，ndata[0]节点开始生成树。一共有nodes个
for (int i=0;i<nodes;i++){
//将当前已被选的节点存入图对象的ndata中
chart.ndata[i]=ndata[i];
//j:还未被选中的节点
for (int j=0;j<nodes;j++){
//将所有可能两两连接的节点组合，存入图对象的邻接矩阵中
chart.ndlenght[i][j]=ndlenght[i][j];
}
}
}
//显示图矩阵
public void dischart(Chart chart){
for (int[] link:chart.ndlenght){
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 普里姆算法:
* 最小生成树
* @param chart:图
* @param v :初值
*/
public void Prim(Chart chart,int v){
//存放已被选中的节点，初始都为0
int[] ondata=new int[chart.nodes];
//标记初值节点已被选中,1(表示被选中了的)
ondata[v]=1;
//设即将相连的两个节点下标为 index1、index2。由于还没有存入，所以初始为-1
int index1=-1;
int index2=-1;
//由于还不知道第一个边长为多少，所以先虚拟设置一个最大带权边长。后面后被替换的
int max=10000;
//k:表示最多生成（n-1)条带权边
for (int k=1;k<chart.nodes;k++){
//i:表示以被选中的节点；j:还未被选中的节点
for (int i=0;i<chart.nodes;i++){
for (int j=0;j<chart.nodes;j++){
if (ondata[i]==1&&ondata[j]==0&&chart.ndlenght[i][j]<max){
max=chart.ndlenght[i][j];
index1=i;
index2=j;
}
}
}
System.out.println("节点:<"+chart.ndata[index1]+","+chart.ndata[index2]+">,==>带权边长:"+max);
//将当前节点标记为以访问使用的节点
ondata[index2]=1;
//重置max
max=10000;
}
}
}
/*
第一步：
创建图对象
*/
class Chart{
int nodes; //图中节点个数
char[] ndata; //存放节点数据
int[] [] ndlenght; //存放带权边。也是邻接矩阵
//构造器
public Chart(int nodes) {
this.nodes = nodes;
//初始化，数组长度为nodes(节点个数)
ndata=new char[nodes];
//初始化，矩阵为nodes行nodes列
ndlenght=new int[nodes][nodes];
}
}
结果：
2.,克鲁斯卡尔算法(Kruskal)----最短边策略
-
策略：每一次贪心的选择从剩下的边中最小的边且不产生环路的，加入到已选边的集合中。直到所有顶点都加入进来。
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按照权值从小到大选择n-1条边，并且这些边不构成环路。
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算法如下：
（1）、构建有n个顶点的无边连通图 W ，
（2）、对无向连通图 H 中的各个带权边从小到大排序
（3）、依次从小到大将 H 中的带权边加入到 W中（期间不能构成环路）
-
算法图解及判断环路：
-
环路：已加入加入到无边联通图中的顶点的终点不能相同
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终点：将所有顶点从小到大排序后，某个顶点的终点就是"与它相连的最大的顶点";
-
（1）、无边连通图 W。与无向连通图 H（1:顶点以排序;2.权值以排序）
- 顶点的终点：此时由于还没有加入。所以W中所有的各个顶点的终点是自己本身
-
-
（2）、将H中从小到大排序后的边依次加入 W中。
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（2.1）、第一次：<A,C>=4，
-
顶点的终点：因为顶点是已排序为{A,B,C,D},而目前加入到W中的只有{A，C}。所以A与C连通的最大顶点是：A--->C;C--->C
-
- （2.2）、第二次：<B,D>=5，
- 顶点的终点：此时**W**中有{A，C}，{B，D}。由于目前{B，D}还没有与{A，C}连通，所以B与D连通的最大顶点是：B--->D;D--->D,
- （2.3）、第三次：<C,D>=6，这里虽然前面C与D被加入过，但它们的终点却不同。
- 顶点的终点：此时**W**中有{A，C}，{B，D}，{C，D}。由于{C，D}的加入导致{A,B,C,D}相互连接，所最大顶点是：A--->D;B--->D;C--->D;D--->D,
- （2.4）、第四次：<A,D>=7。由于前面得出A，与D的最大顶点(终点)相同为D，如果加入会构成环路。所以不能加入.跳过此边，加入下一条边
- （2.5）、第五次：<A,B>=8。由于前面得出A，与B的最大顶点(终点)相同为D，如果加入会构成环路。所以不能加入。所以加入下一条边，发现没有，所有边都已加入到了。
-
（3）、注意：在（2.3）时。其实所有顶点都已加入到了W中，所以就不需要判断后面的了。后面的结论只是为了说明终点与环路。
-
代码如下：
import java.util.Arrays;
/**
* 最小生成树：克鲁斯卡尔算法
* 将无向连通图中的各个边从小到大排序，依次放入无边连通图中（不能出现环路）
*/
public class test1 {
private int geshu; //边的个数
private char[] data; //存放节点
private int[][] allquanzhi; //存放带权边，邻接矩阵
//标记不能相连通的两个节点，即不相邻的两个节点所形成的带权边。为Integer最大值
private static final int maxlen = Integer.MAX_VALUE;
public static void main(String[] args) {
// char[] data={'A','B','C','D','E'};
// int[][] allquanzhi={
// {0,20,maxlen,60,15},
// {20,0,42,maxlen,maxlen},
// {maxlen,42,0,30,maxlen},
// {60,maxlen,30,0,23},
// {15,maxlen,maxlen,23,0},
// };
char[] data={'A','B','C','D'};
int[][] allquanzhi={
{0,8,4,7},
{8,0,maxlen,5},
{4,maxlen,0,6},
{7,5,6,0}
};
test1 t=new test1(data,allquanzhi);
//打印矩阵
t.dayinjuzheng();
Bian[] bians=t.andbian();
System.out.println("排序前的边集合"+Arrays.toString(bians));
t.biansort(bians);
System.out.println("排序后的边集合"+Arrays.toString(bians));
t.KrusKal();
}
//定义构造器
public test1(char[] data, int[][] allquanzhi) {
//初始化顶点数
int spotgeshu = data.length;
//初始化顶点（节点）
this.data = data;
//初始化 边
this.allquanzhi = allquanzhi;
//统计边的个数
for (int i = 0; i < spotgeshu; i++) {
for (int j = i+1; j < spotgeshu; j++) {
if (this.allquanzhi[i][j] < maxlen) {
geshu++;
}
}
}
}
//打印邻接矩阵
public void dayinjuzheng() {
System.out.println(geshu);
for (int i = 0; i < data.length; i++) {
for (int j = 0; j < data.length; j++) {
//格式化输出
System.out.printf("%15d\t", +allquanzhi[i][j]);
}
System.out.println();
}
}
/*
对边排序：冒泡《从小到大》
*/
public void biansort(Bian[] bian){
for (int i=bian.length-1;i>0;i--){
for (int j=0;j<i;j++){
if (bian[j].bianquanzhi>bian[j+1].bianquanzhi){
Bian temp=bian[j];
bian[j]=bian[j+1];
bian[j+1]=temp;
}
}
}
}
/*
判断顶点是否存在
返回顶点的索引
*/
public int ismbian(char ch){
for (int i=0;i<data.length;i++){
if (data[i]==ch){
return i;
}
}
//如果ch不是顶点就返回-1
return -1;
}
/*
将所以相邻边存入Bian[]中
*/
public Bian[] andbian(){
int index=0;
Bian[] bians=new Bian[geshu];
for (int i=0;i<data.length;i++){
for (int j=i+1;j<data.length;j++){
if (allquanzhi[i][j]!=maxlen){
bians[index++]=new Bian(data[i],data[j],allquanzhi[i][j]);
}
}
}
return bians;
}
/*
获取小标为i的顶点的终点，用于判断两个顶点的终点是否相同
star:存入的是顶点的终点的索引，初始化为{0，0，0，0，...},
i:顶点的索引
*/
public int getEnd(int[] star,int i){
//动态的判断以此顶点的索引，
//相连的前一个顶点的终点索引就是后一个顶点的索引
//由于第一次的顶点的终点是自己的索引都
//如果在star中找到了终点
while (star[i]!=0){
//就将此终点的值变为新的顶点的索引（找到此索引对应的顶点的终点，直到新的索引在star中没有找到终点，即为0，就将此索引返回为最初始的节点的终点索引）
i=star[i];
}
//返回为终点
return i;
}
/*
最小生成树克鲁斯卡尔算法
*/
public void KrusKal(){
int index=0; //最后结果数组的索引
//存放最小生成树每个顶点的终点
int[] star=new int[geshu];
//保存最终生成树
Bian[] fin=new Bian[geshu];
//获取边的集合
Bian[] andnewbian = andbian();
//对所有边进行排序
biansort(andnewbian);
//遍历边集合。在判断的同时判断是否形成回路
for (int i=0;i<geshu;i++){
//上面andbian存放获得的边的类：bians[index++]=new Bian(data[i],data[j],allquanzhi[i][j]);
//获取第一边的起点（顶点）,对应的是data[i]
int h1=ismbian(andnewbian[i].da1);
//获取第一条边的第二个顶点,对应的是data[j]
int h2=ismbian(andnewbian[i].da2);
//获取第一个顶点的终点
int end = getEnd(star, h1);
//获取第二个顶点的终点
int end1 = getEnd(star, h2);
//判断回路:如果没有构成回路
if (end!=end1){
//设置end1为已有生成数的终点
star[end]=end1;
//此时最终生成树有了一条边
fin[index++]=andnewbian[i];
}
}
System.out.println("最后生成树："+Arrays.toString(fin));
System.out.println("最小生成树:");
for (int i=0;i<index;i++){
System.out.println(fin[i]);
}
}
}
/*
边类
*/
class Bian{
//组成一条边的两个节点
char da1;
char da2;
//边权值
int bianquanzhi;
public Bian(char da1, char da2, int bianquanzhi) {
this.da1 = da1;
this.da2 = da2;
this.bianquanzhi = bianquanzhi;
}
@Override
public String toString() {
return "bian{" +
"da1=" + da1 +
", da2=" + da2 +
", bianquanzhi=" + bianquanzhi +
'}';
}
}
结果：
